あけまして おめおめでとう ございます（５７５）
導入
$\cdot$ を適当な畳み込み演算として、$f = f \cdot g + 1$ のとき、$f = 1 / (1 - g)$ ←これマジ？
定理
各点和、 {and, or, xor} 畳み込み積を演算とする環 $R$ において、 $g \in R$が可逆 ⇔ $ \mathrm{WHT}(g) $ が可逆 ⇔ $\forall_i \mathrm{WHT}(g)_i \neq 0$
補題1
$f$ : 環同型とする（上の $f$ とは別）
$a$ : 零因子 ⇔ $f(a)$ : 零因子
証明： 定義より、$\exists_{x \neq 0} ax = 0$
$f(a) f(x) = f(a x) = f(0), f(x) \neq f(0) $
補題2
WHT は環同型である
証明：「ここに適切な証明が入る」
定理の証明
$\forall_i \mathrm{WHT}(g)_i \neq 0$ のとき、存在性は $h_i = 1 / \mathrm{WHT}(g)_i$ として $\mathrm{iWHT}(h)$ を考えればよい。 $h \cdot g = 1$ は明らか
あとは一意性を言えばOK
$f \cdot g = h \cdot g \Leftrightarrow f = h$ を示せばよい
$f \cdot g = h \cdot g \Leftrightarrow (f - h) \cdot g = 0$
ここで $\mathrm{WHT}(g)$ は可逆であったから、$g$ も可逆である、つまり零因子でない、したがって $f - h = 0$
おまけ
$f = \displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} g^{i} \Leftrightarrow f = f \cdot g + 1 $
証明：略